Permutaciones
Hay dos
tipos de permutaciones:
- Se permite repetir: como
la cerradura de arriba, podría ser "333".
- Sin repetición: por ejemplo los tres
primeros en una carrera. No puedes quedar primero y segundo
a la vez.
1. Permutaciones con repetición
Son las más
fáciles de calcular. Si tienes n cosas para elegir y
eliges r de ellas, las permutaciones posibles son:
n × n × ... (r veces) = nr
(Porque hay n posibilidades
para la primera elección, DESPUÉS hay n posibilidades para la
segunda elección, y así.)
Por ejemplo
en la cerradura de arriba, hay 10 números para elegir (0,1,...,9) y eliges 3 de
ellos:
10 × 10 × ... (3 veces) = 103 = 1000 permutaciones
Así que la
fórmula es simplemente:
nr
|
donde n es el número de
cosas que puedes elegir, y eliges r de ellas
(Se puede repetir, el orden importa) |
2. Permutaciones sin repetición
En este
caso, se reduce el número de opciones en cada paso.
|
Por
ejemplo, ¿cómo podrías ordenar 16 bolas de billar?
Después de
elegir por ejemplo la "14" no puedes elegirla otra vez.
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Así que tu
primera elección tiene 16 posibilidades, y tu siguiente elección tiene 15
posibilidades, después 14, 13, etc. Y el total de permutaciones sería:
16 × 15 × 14 × 13 ... = 20,922,789,888,000
Pero a lo
mejor no quieres elegirlas todas, sólo 3 de ellas, así que sería solamente:
16 × 15 × 14 = 3360
Es decir,
hay 3,360 maneras diferentes de elegir 3 bolas de billar de entre 16.
¿Pero cómo
lo escribimos matemáticamente? Respuesta: usamos la "función
factorial"
|
La función factorial (símbolo: !) significa que se multiplican
números descendentes. Ejemplos:
|
Nota:
en general se está de acuerdo en que 0! = 1. Puede que parezca
curioso que no multiplicar ningún número dé 1, pero ayuda a simplificar
muchas ecuaciones.
|
Así que si
quieres elegir todas las bolas de billar las permutaciones
serían:
16! = 20,922,789,888,000
Pero si sólo
quieres elegir 3, tienes que dejar de multiplicar después de 14. ¿Cómo lo
escribimos? Hay un buen truco... dividimos entre 13!...
16 × 15 ×
14 × 13 × 12 ...
|
= 16 × 15 × 14 = 3360
|
|
13 × 12
...
|
¿Lo ves? 16!
/ 13! = 16 × 15 × 14
La fórmula
se escribe:
|
donde n es el número de
cosas que puedes elegir, y eliges r de ellas
(No se puede repetir, el orden importa) |
Ejemplos:
Nuestro
"ejemplo de elegir en orden 3 bolas de 16" sería:
16!
|
=
|
16!
|
=
|
20,922,789,888,000
|
= 3360
|
(16-3)!
|
13!
|
6,227,020,800
|
¿De cuántas
maneras se pueden dar primer y segundo premio entre 10 personas?
10!
|
=
|
10!
|
=
|
3,628,800
|
= 90
|
(10-2)!
|
8!
|
40,320
|
(que es lo mismo que: 10 × 9 = 90)
Notación
En lugar de
escribir toda la fórmula, la gente usa otras notaciones como:
Combinaciones
También hay
dos tipos de combinaciones (recuerda que ahora el orden no importa):
- Se puede repetir: como
monedas en tu bolsillo (5,5,5,10,10)
- Sin repetición: como números de lotería
(2,14,15,27,30,33)
1. Combinaciones con repetición
En realidad
son las más difíciles de explicar, así que las dejamos para luego.
2. Combinaciones sin repetición
Así funciona
la lotería. Los números se eligen de uno en uno, y si tienes los números de la
suerte (da igual el orden) ¡entonces has ganado!
La manera
más fácil de explicarlo es:
- imaginemos que el orden sí importa (permutaciones),
- después lo cambiamos para que el orden no importe.
Volviendo a
las bolas de billar, digamos que queremos saber qué 3 bolas se eligieron, no el
orden.
Ya sabemos
que 3 de 16 dan 3360 permutaciones.
Pero muchas
de ellas son iguales para nosotros, porque no nos importa el orden.
Por ejemplo,
digamos que se tomaron las bolas 1, 2 y 3. Las posibilidades son:
El orden
importa
|
El orden
no importa
|
1 2 3
1 3 2 2 1 3 2 3 1 3 1 2 3 2 1 |
1 2 3
|
Así que las
permutaciones son 6 veces más posibilidades.
De hecho hay
una manera fácil de saber de cuántas maneras "1 2 3" se pueden
ordenar, y ya la sabemos. La respuesta es:
3! = 3 × 2 × 1 = 6
(Otro
ejemplo: 4 cosas se pueden ordenar de 4! = 4 × 3 × 2 × 1 =
24 maneras distintas, ¡prueba tú mismo!)
Así que sólo
tenemos que ajustar nuestra fórmula de permutaciones para reducir por
las maneras de ordenar los objetos elegidos (porque no nos interesa
ordenarlos):
Esta fórmula
es tan importante que normalmente se la escribe con grandes paréntesis, así:
|
donde n es el número de
cosas que puedes elegir, y eliges r de ellas
(No se puede repetir, el orden no importa) |
Y se la
llama "coeficiente binomial".
Notación
Además de
los "grandes paréntesis", la gente también usa estas notaciones:
Ejemplo
Entonces,
nuestro ejemplo de bolas de billar (ahora sin orden) es:
16!
|
=
|
16!
|
=
|
20,922,789,888,000
|
= 560
|
3!(16-3)!
|
3!×13!
|
6×6,227,020,800
|
O lo puedes
hacer así:
16×15×14
|
=
|
3360
|
= 560
|
3×2×1
|
6
|
Así que recuerda, haz las permutaciones, después reduce entre "r!"
... o mejor todavía...
¡Recuerda la fórmula!
Es
interesante darse cuenta de que la fórmula es bonita y simétrica:
Con otras
palabras, elegir 3 bolas de 16 da las mismas combinaciones que elegir 13 bolas
de 16.
16!
|
=
|
16!
|
=
|
16!
|
= 560
|
3!(16-3)!
|
13!(16-13)!
|
3!×13!
|
Triángulo de Pascal
Puedes usar
el triángulo de
Pascal para calcular valores. Baja a la fila "n" (la
de arriba es n=0), y ve a la derecha "r" posiciones, ese valor es la
respuesta. Aquí tienes un trozo de la fila 16:
1 14 91
364 ...
1 15 105
455 1365 ...
1 16 120 560 1820
4368 ...
1. Combinaciones con repetición
OK, ahora
vamos con este...
|
Digamos
que tenemos cinco sabores de helado: banana, chocolate, limón, fresa
y vainilla. Puedes tomar 3 paladas. ¿Cuántas variaciones hay?
Vamos a
usar letras para los sabores: {b, c, l, f, v}. Algunos ejemplos son
|
(Y para dejarlo claro: hay n=5 cosas para elegir, y
eliges r=3 de ellas.
El orden no importa, ¡y sí puedes repetir!)
El orden no importa, ¡y sí puedes repetir!)
Bien, no
puedo decirte directamente cómo se calcula, pero te voy a enseñar una técnica
especial para que lo averigües tú mismo.
|
Imagina
que el helado está en contenedores, podrías decir "sáltate el primero,
después 3 paladas, después sáltate los 3 contenedores siguientes" ¡y
acabarás con 3 paladas de chocolate!
|
Entonces es como si ordenaras a un robot que te
trajera helado, pero no cambia nada, tendrás lo que quieres.
|
Ahora puedes
escribirlo como (la flecha es saltar, el
círculo es tomar)
Entonces los
tres ejemplos de arriba se pueden escribir así:
{c, c, c} (3 de chocolate):
|
|
{b, l, v} (uno de banana, uno de limón y uno de
vainilla):
|
|
{b, v, v} (uno de banana, dos de vainilla):
|
OK, entonces
ya no nos tenemos que preocupar por diferentes sabores, ahora tenemos un
problema más simple para resolver: "de cuántas
maneras puedes ordenar flechas y círculos"
Fíjate en
que siempre hay 3 círculos (3 paladas de helado) y 4 flechas (tenemos que
movernos 4 veces para ir del contenedor 1º al 5º).
Así que (en
general) hay r + (n-1) posiciones, y queremos que r de
ellas tengan círculos.
Esto es como
decir "tenemos r + (n-1) bolas de billar y
queremos elegir r de ellas". Es decir, es como el
problema de elegir bolas de billar, pero con números un poco distintos. Lo
podrías escribir así:
|
donde n es el número de
cosas que puedes elegir, y eliges r de ellas
(Se puede repetir, el orden no importa) |
Es
interesante pensar que podríamos habernos fijado en flechas en vez de círculos,
y entonces habríamos dicho "tenemos r + (n-1) posiciones
y queremos que (n-1) tengan flechas", y la
respuesta sería la misma...
¿Qué pasa
con nuestro ejemplo, cuál es la respuesta?
(5+3-1)!
|
=
|
7!
|
=
|
5040
|
= 35
|
3!(5-1)!
|
3!×4!
|
6×24
|
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