Isomorfismo

Isomorfismo de grafos

Dados G=(V,E) y G´=(V´,E´), se denomina isomorfismo de G a G´ a la aplicación biyectiva f  tal que para a,bÎV, {a,b}ÎE Û se cumple {f(a),f(b)}ÎE´. Es decir, la aplicación que relaciona biyectivamente pares de vértices de E con pares de vértices de E´, de modo que los vértices conectados por aristas siguen estándolo.

G y G´ se denominan isomorfos, y son matemáticamente iguales, solo varia la apariencia, o sea, que se mantienen las adyacencias, estructura, caminos y ciclos.

Los grafos G y G ‘ son isomorfos pues existe la biyección f: V ® V ‘ definida por f(a) = 2, f(b) = 1, f(c) = 3, f(d) = 4 que conserva la adyacencia.

Complejidad

Los problemas matemáticos se pueden dividir en primera instancia en dos grupos:

Problemas indecidibles: aquellos que no se pueden resolver mediante un algoritmo.

 Problemas decidibles: aquellos que cuentan al menos con un algoritmo para su cómputo.

Sin embargo, que un problema sea decidible no implica que se pueda encontrar su solución, pues muchos problemas que disponen de algoritmos para su resolución son inabordables para un computador por el elevado número de operaciones que hay que realizar para resolverlos. Esto permite separar los problemas decidibles en dos:

intratables: aquellos para los que no es factible obtener su solución.

tratables: aquellos para los que existe al menos un algoritmo capaz de resolverlo en un tiempo razonable.

Los problemas pueden clasificarse también atendiendo a su complejidad. Aquellos problemas para los que se conoce un algoritmo polinómico que los resuelve se denominan clase P. Los algoritmos que los resuelven son deterministas. Para otros problemas, sus mejores algoritmos conocidos son no deterministas. Esta clase de problemas se denomina clase NP. Por tanto, los problemas de la clase P son un subconjunto de los de la clase NP, pues sólo cuentan con una alternativa en cada paso.

El problema de isomorfismo de grafos no se sabe si es un problema de la clase P o de la clase NP, y si hubiese una clase intermedia entre ambas, el isomorfismo de grafos sería el tipo de problema ideal para ella.

Existe un caso concreto de grafos (los árboles) donde el problema del isomorfismo si se puede resolver mediante la aplicación de algoritmos no muy complejos. Este caso será el que desarrollaremos en la segunda parte del proyecto, apartado